在數學中,相交是兩個幾何圖形之間關係的一種。兩個圖形相交是指它們有公共的部分,或者說同時屬於兩者的點的集合不是空集。若兩個幾何圖形在某個地方有且只有一個交點,則可以稱為相切而不是相交。如果兩個圖形完全重合,則一般不稱為相交。
集合論中,兩個集合相交是指它們的交集不是空集。
直線的相交[編輯]
在歐幾里得平面上,兩條直線要麼平行,要麼相交,要麼重合。這時歐幾里得第五公設的推論。相交的兩條直線恰好有一個交點。在非歐幾何中,按幾何特性(曲率),可以分為兩類。羅巴切夫斯基幾何中兩條直線要麼平行,要麼相交,但平行線不止一條。黎曼幾何中兩條直線總是相交。
三維空間或更高維空間中,兩條直線相交則必定共面。
圓的相交[編輯]
歐幾里得幾何中,同一平面上的兩個圓之間的關係有四種:相離、相切、相容和相交。相離指兩圓沒有交點而且沒有一個圓在另一個圓內部。相切是指兩圓只有一個交點。相交是指兩圓有多於一個交點。相容是指兩圓沒有交點且一個圓在另一個內部。
兩個圓相交當且僅當兩個圓心之間的距離嚴格小於兩圓的半徑之和,並嚴格大於兩圓的半徑之差。
解析幾何中的判別方法[編輯]
在平面解析幾何中,設兩條直線的方程為:
![{\displaystyle ({\mathcal {D}}_{1}):\,\ a_{1}x+b_{1}y=c_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa0f106d250c5f0d1ee9995206941986cb33a84c)
![{\displaystyle ({\mathcal {D}}_{2}):\,\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fa75ac02c36e199b78ea580ed1eba309b67be13)
那麼
與
相交當且僅當行列式:
不等於零。
對於兩圓相交,設兩個圓的方程是:
![{\displaystyle ({\mathcal {C}}_{1}):\,\ (x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}=r_{1}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cb34d0c07656cf71adce64dd0253d2a38de65e0)
![{\displaystyle ({\mathcal {C}}_{2}):\,\ (x-x_{2})^{2}+(y-y_{2})^{2}=r_{2}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b05213e16818971e8c7433e435ce29478217a5c0)
那麼
與
相交當且僅當:
![{\displaystyle |r_{1}-r_{2}|<{\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}<|r_{1}+r_{2}|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95aaa8be51f3af1ab47ee1db92c26fac471cdf2d)
![{\displaystyle ({\mathcal {D}}_{1}):\,\ 3x+5y=18}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d1741eddd253fbae8d7c832bff6b32a60056693)
![{\displaystyle ({\mathcal {D}}_{2}):\,\ 6x-y=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/154581a0aecb11f5ddd6666ec040eb3f4f67fb4c)
由於行列式:
,兩直線相交。交點為
。
![{\displaystyle ({\mathcal {D}}_{1}):\,\ 3x+5y=18}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d1741eddd253fbae8d7c832bff6b32a60056693)
![{\displaystyle ({\mathcal {D}}_{2}):\,\ 6x+10y=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c53afed922065a17d7a34f37b193f941618daa43)
由於行列式:
,兩直線不相交(實際上平行)。
![{\displaystyle ({\mathcal {C}}_{1}):\,\ (x-1)^{2}+(y+4)^{2}=6^{2}=36}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/861860626c375540d8e684f3c516616231998eee)
![{\displaystyle ({\mathcal {C}}_{2}):\,\ (x+3)^{2}+(y+1)^{2}=2^{2}=4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbc7daeb978f3607a33ae8be4383518c641b9d9e)
這時兩個圓心的距離是:
,
,因此兩圓相交。
參考來源[編輯]